Wie wahrscheinlich ist mindestens eine Sechs bei mehreren Würfeln?
Bei sechs Würfeln müsste doch eine Sechs dabei sein. Der Gedanke liegt nahe: sechs Chancen, sechs Seiten. Ein erwarteter Wert ist aber keine Zusage für einen einzelnen Wurf.
Am einfachsten rechnest du über das Gegenereignis: Auf keinem Würfel liegt eine Sechs.
Zuerst die Fehlwürfe zählen
Bei einem fairen sechsseitigen Würfel verfehlen fünf von sechs Seiten dein Ziel. Für unabhängige Würfe beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass alle Würfel verfehlen, (5/6) hoch Würfelzahl. Ziehe diesen Wert von 1 ab und du erhältst die Chance auf mindestens eine Sechs.
Bei zwei Würfeln ergibt das 25/36 für keine Sechs. Die übrigen 11/36, rund 30,56 %, umfassen eine Sechs auf dem ersten, dem zweiten oder beiden Würfeln. Das ist unsere Anwendung des Modells unabhängiger Versuche, das OpenStax erläutert.
| Würfel | Chance |
|---|---|
| 1 | 16,67 % |
| 2 | 30,56 % |
| 3 | 42,13 % |
| 4 | 51,77 % |
| 5 | 59,81 % |
| 6 | 66,51 % |
| 7 | 72,09 % |
| 8 | 76,74 % |
| 9 | 80,62 % |
| 10 | 83,85 % |
Sechs Würfel gehen noch häufig leer aus
Für sechs Würfel lautet die Rechnung 1 − (5/6)⁶. Das ergibt ungefähr 66,51 %. Für keine einzige Sechs bleiben rund 33,49 %. Unter diesen Annahmen geht also ungefähr ein Drittel der Würfe vollständig am Ziel vorbei.
Die erwartete Anzahl an Sechsen ist zwar eins. Trotzdem sind null, zwei oder mehr Sechsen möglich. Der Erwartungswert mittelt über viele Wiederholungen; er reserviert keine erfolgreiche Seite in jedem Wurf.
Genau eine Sechs ist eine andere Frage
Bei zwei Würfeln liegt genau eine Sechs mit Wahrscheinlichkeit 10/36 vor, also rund 27,78 %. Zwei Sechsen liefern das zusätzliche 1/36 im Mindestens-eine-Ergebnis. Kläre diesen Unterschied, bevor du eine Spielregel berechnest.
Für n faire s-seitige Würfel und eine einzige Zielseite lautet die allgemeine Formel 1 − ((s − 1)/s)ⁿ. Vier d12 treffen eine bestimmte Seite mit ungefähr 29,39 %. Eine Regel wie mindestens 10 auf d12 hat dagegen drei erfolgreiche Seiten und braucht eine andere Erfolgswahrscheinlichkeit.
Ausprobieren ersetzt die Rechnung nicht
Im Würfeltool von Picknado wählst du Würfelzahl und Seitenzahl. Jede angezeigte Zahl ist ein eigener Wurf; die Gesamtzahl ist deren Summe. Eine Summe von sechs ist nicht dasselbe Ereignis wie eine Sechs auf einem einzelnen Würfel.
Notiere beim Ausprobieren Treffer und Fehlwürfe. Bei wenigen Versuchen kann dein Anteil deutlich von der Tabelle abweichen. Behalte Würfel und Ziel bei: Wer nach dem Ergebnis eine andere Erfolgsregel auswählt, untersucht eine andere Frage.
Quellen & weiterführende Informationen
Die Links belegen Sachangaben. Zeitpläne und Rechenbeispiele sind eigene Veranschaulichungen, keine Nutzerstudien.
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